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  - 沪教版教参必修第一册·第5章
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# 第 5 章 函数的概念、性质及应用

> 拆分自 [[沪教版教参必修第一册]] · **第 5 章 函数的概念、性质及应用**（原文件第 2569–3247 行）。
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## 一、本章概述

### 总体要求

“函数是现代数学最基本的概念, 是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具, 在解决实际问题中发挥重要作用. 函数是贯穿高中数学课程的主线. ”函数是由初等数学走向高等数学的一个重要概念. 函数概念的引入使数学工具可以对动态的对象进行定量的研究, 如微积分的主要研究对象也是函数. 另外, 函数在实际生产、生活中也有相当广泛的应用, 这些应用是数学建模的一部分.

在初中和上一章中学习过的一次函数、反比例函数、二次函数、幂函数、指数函数及对数函数都是一些具体函数的例子. 本章旨在将这些具体函数中的共性进行归纳,提炼出函数的一般概念,这一过程是“数学抽象”核心素养的具体体现；并在此基础上明确: 可以从什么角度去研究一个函数? 以及有了函数这个概念和工具之后, 我们能够做些什么? 为之后三角函数的学习作好充分的准备.

高中阶段所学习的函数概念是初中阶段所学的函数概念的继承与精确化. 与历史上函数概念的发展过程类似, 本章所采用的函数概念摆脱了 “函数由曲线或由表达式来描述”的原始定义,较为准确地将函数描述为非空实数集合到实数集合的满足某些特性的对应关系. 有了函数的概念, 在考察许多其他数学对象 (如方程、不等式) 的时候, 就有了一种新的、利用函数图像这一工具的视角, 而数形结合的思想正是核心素养中“直观想象”的一个体现.

通过本章的学习, “可以帮助学生建立完整的函数概念, 不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具, 也把函数理解为实数集合之间的对应关系; 能用代数运算和函数图像揭示函数的主要性质; 在现实问题中, 能利用函数模型解决问题. ”在学习一些具体函数的基础上,本章归纳出一般函数的概念,讨论函数的基本性质, 并在第七章又重新回到对三角函数这一具体函数的学习. 这一“从具体到抽象, 再回到具体”的过程, 符合学生的认知规律, 也有助于培养学生的数学抽象素养.

函数是数形结合的典范. 一方面可以通过函数表达式, 培养学生数学运算和逻辑推理的核心素养; 另一方面也可以通过函数图像整体把握函数的变化特征, 培养学生直观想象的数学素养. 此外, 函数是一类重要的数学模型, 通过本章的学习, 可使学生在实际情境中初步学会选择合适的函数类型, 以刻画现实世界某一方面的变化规律.

### 课时安排建议

本章的课时安排建议为 ${10} + 2 + 1$ ,共计 13 课时. 建议如下:

<table><tr><td>章节名</td><td>建议课时</td><td>具体课时分配建议</td></tr><tr><td rowspan="2">5.1 函数</td><td rowspan="2">2</td><td>函数 1 课时</td></tr><tr><td>函数的表示方法 1 课时</td></tr><tr><td rowspan="3">5.2 函数的基本性质</td><td rowspan="3">5</td><td>函数的奇偶性 2 课时</td></tr><tr><td>函数的单调性 2 课时</td></tr><tr><td>函数的最值 1 课时</td></tr><tr><td rowspan="3">5.3 函数的应用</td><td rowspan="3">3</td><td>函数关系的建立 1 课时</td></tr><tr><td>用函数观点求解方程与不等式 1 课时</td></tr><tr><td>用二分法求函数的零点 1 课时</td></tr><tr><td rowspan="2">5.4 (选学)反函数</td><td rowspan="2">2</td><td>反函数的概念 1 课时</td></tr><tr><td>反函数的图像 1 课时</td></tr><tr><td>复习与小结</td><td>1</td><td/></tr></table>

### 内容编排与特色

本章内容共分为四节, 分别是 5.1 函数, 5.2 函数的基本性质, 5.3 函数的应用, 5.4 反函数.

"5.1 函数"着力于从已经学过的函数的公共属性中抽象出函数的一般概念. 在本节中,教材对“函数”和“表达式”的概念比以往的教材做了更明确的区分:表达式更多指向代数层面, 是由数和字母以及一些约定的运算构成的算式; 而函数更多指向分析层面, 是指数与数之间的对应关系. 本节介绍了函数的三种表示方法一一解析法、列表法和图像法, 并且在解析法中介绍了函数的分段表示法, 这些与“二期课改”教材基本一致. 不同之处是, 本教材中函数的图像不再通过“用光滑的曲线连接一些点”的模糊的方式来定义, 而是用平面直角坐标系中的相应点集来定义. 这样的定义方式更加抽象, 其优点是能为之后函数图像的对称性等性质的说理过程提供依据.

在本节的末尾, 提供了一篇课后阅读材料——“函数概念的形成和发展”, 通过列举函数概念发展史上的重大事件, 为学生了解函数概念发展的历史提供参考.

“5.2 函数的基本性质”包含函数的奇偶性、单调性及最值这三部分内容, 是已学过的函数特性的抽象. 在函数的奇偶性部分, 教材证明了“一个函数是偶函数当且仅当该函数的图像关于 $y$ 轴对称”,在几何直观与代数表达之间建立起一座桥梁,并为学生规范地表达自己的思想提供了一个范例. 在函数的单调性部分,教材详细分析了二次函数的单调性, 这既是对初中所学的二次函数知识的一次总结与升华, 也为后面 “5.3 函数的应用”一节中用函数观点求解二次不等式打下了基础. 函数的最值部分主要处理二次函数的最值和已知单调性的函数的最值, 力求阐明“单调性可以决定最值” 这一较为本质的特征. 本节中所展示的例题在研究方法或者表达方式上都是有代表性的, 同时也被严格控制了难度.

“ 5.3 函数的应用”主要由两部分组成. 第一部分是函数关系的建立, 着眼于在简单的生产、生活问题中建立相应的函数模型, 着重说明在对实际问题进行建模时, 数学意义上的解答所包含的远远不止算式, 必要的思考和恰当的文字表述也是解答的重要组成部分. 第二部分是用函数观点求解方程与不等式, 这是 “二期课改” 教材中力图潜在地渗透但没有明确指出的. 随着课程标准的调整, 本教材也将这部分内容作为一个重要组成部分, 试图通过精心选择的内容, 使学生明白如何从分析的角度审视方程与不等式. 作为这两部分的有机整合, 在介绍连续函数介值性质 (零点存在性质) 的基础上, 通过一个实际问题展示数值计算中求函数零点的二分法. 教材在呈现用二分法求函数近似零点这一内容时, 用表格代替了大段雷同的文字, 使之更加简洁明了.

“5.4 反函数”在课程标准中列为选学内容,因此教材也进行了标注选学 ${}^{ \oplus  }$ 的处理. 本节旨在介绍反函数的概念, 以及如何在较简单的情形下(代数意义上方程可求解时) 求已知函数的反函数, 另外, 也较严格地给出了函数与其反函数的图像关于直线 $y = x$ 对称这一事实的证明.

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① 本套教材中对选学内容都用 “号进行了标注,如" 5.4 反函数”.

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总的来说, 因为本章把函数作为从幂函数、指数函数、对数函数及其他已经学过的函数发展出来的一个数学抽象产物, 所以能够抛开函数的具体形式, 更加游刃有余地对一般的函数进行研究, 并且借助充足的实例来支撑这些研究, 加深学生对研究结果的理解.

### 教学提示

教师应把本章内容视为一个整体,引导学生从变量之间的依赖关系、实数集合之间的对应关系以及函数图像的几何直观等角度整体地认识函数概念; 通过梳理函数的奇偶性(对称性)、单调性及最值等内容,认识函数的整体性质；经历运用函数解决实际问题的过程.

函数概念的引入,可以以学生熟悉的例子为背景进行抽象. 例如,从学生过去熟悉的函数定义入手,通过生活或数学中的问题引导学生构建函数的一般概念,体会用对应关系定义函数的必要性, 感悟数学抽象的思维方式与作用.

函数单调性的教学, 要引导学生正确使用符号语言清晰地刻画函数的性质. 在有关函数定义域、值域以及函数性质的教学过程中, 应避免偏题、怪题及烦琐的技巧训练.

函数应用的教学, 要引导学生理解如何用函数描述客观世界一些事物的变化规律.

在用函数观点求解一元二次方程和一元二次不等式的教学中, 可以先讨论具体的一元二次函数的函数值的变化情况, 引导学生发现一元二次函数与一元二次方程的关系, 回顾一元二次不等式的概念; 然后进一步引导学生探索一般的一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系, 归纳总结用一元二次函数解一元二次不等式的方法和步骤.

鼓励学生运用信息技术学习、探索和解决有关函数的问题. 例如, 利用计算器或计算机绘制幂函数、指数函数、对数函数、三角函数 (在第七章学习相关知识之后) 等的图像, 探索、比较它们的变化规律, 研究函数的性质, 求方程的近似解等.

可以组织学生收集、阅读有关函数概念形成与发展的历史资料, 撰写相关报告, 论述其发展过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献.

### 评价建议

在过程性评价中, 应关注学生的思维. 例如, 学生对函数概念的理解是已经达到了从数集到数集的对应关系这一层次, 还是仅仅停留在“表达式”的层面上? 另外, 对学生的书面表达和口头表达也应密切关注, 避免学生无逻辑或似是而非地堆砌事实, 以此“解决”数学问题.

在终结性评价中, 建议更多地从基本概念的理解层面开展考查. 考查内容不仅应覆盖初中所学的一次函数、反比例函数与二次函数, 而且应覆盖前一章所学的幂函数、指数函数与对数函数. 建议以考查具体函数的有关性质为主, 以考查抽象的一般函数的性质为辅.

可以从函数概念的理解程度等角度来考查数学抽象的核心素养; 在进行和函数有关的运算的过程中, 可以考查数学运算的核心素养; 数学建模这一核心素养的考查主要在“函数的应用”一节中体现; 而逻辑推理、直观想象这两个核心素养的考查在整章中是体现得比较充分的. 例如, 在研究函数的基本性质的时候, 在判断函数是否具有某些性质的过程中, 直观地通过图像来进行分析就依赖于直观想象这一核心素养, 而之后进行论证则依赖于逻辑推理这一核心素养.

#### 二、教材分析与教学建议

##### 5.1 函数

### 教学重点

函数的概念, 函数的表示方法: 在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上, 用集合语言和对应关系来精确地刻画函数, 建立完整的函数概念; 充分体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用; 了解构成函数的几个要素, 能在简单情形下求函数的定义域. 在实际情境中, 能够根据不同的需要选择恰当的方法 (如图像法、 列表法、解析法)表示函数; 理解函数图像的作用; 通过具体实例了解函数的分段表示法, 并能简单应用.

### 内容分析

初中阶段的函数概念强调两个变量之间的依赖关系, 高中阶段则进一步强调这是两个变量所在集合中的元素之间的一个对应关系. 初中阶段一般使用 $y$ 关于 $x$ 的一个表达式来表示函数; 而高中阶段则明确了函数所体现的对应关系可以用各种不同的方式来表示, 两个函数只要将相同的自变量的值对应到了相同的函数值, 即使对应关系的表示形式不同, 它们就是同一个函数.

例 1 旨在说明如何通过解不等式来求用解析法表示的函数的定义域.

例 2 旨在例示如何证明两个函数是相同的, 以及如何说明两个函数不是相同的. 需要指出的是: 函数是否相同不取决于它们的具体表示形式, 而完全由定义域和对应关系是否相同来决定.

例 3 旨在说明在非常简单的情形下如何求函数的值域. 需要注意的是,“ ${2}^{x}$ 的取值范围为 $\left( {0, + \infty }\right)$ ” 不宜写成 “ ${2}^{x} > 0$ ” 或 “ ${2}^{x} \in  \left( {0, + \infty }\right)$ ” 等,因为前者表示集合 $\left\{  {y \mid  y = {2}^{x}, x \in  \mathbf{R}}\right\}   = \left( {0, + \infty }\right)$ ,而后者表示 $\left\{  {y \mid  y = {2}^{x}, x \in  \mathbf{R}}\right\}   \subseteq  \left( {0, + \infty }\right)$ ,两者的含义是完全不同的. 在教学中, 教师应努力纠正学生可能出现的 “意思差不多” 的不规范表述. 练习 5.1(1)的第 3 题是该例题的延伸,其中第 (2) 小题是否要求学生说理可根据教学班的具体情况决定.

函数的表示方法中, 解析法、列表法、图像法各有优势.

解析法将定义域与值域之间的对应关系用表达式来表示. 它的优点是简明、概括, 用代数的方法研究函数的性质比较容易. 图像法借助笛卡尔坐标系刻画两个变量之间的对应关系. 虽然纸上、电脑屏幕上展现出的通常是函数的大致图像, 但是它们在反映变量的变化规律时是非常直观的工具. 列表法对于表示定义域是有限集的函数 (如经济与金融中数据组成的时间序列)是非常方便的.

教材将以往的“分段函数”的提法改成了函数的“分段表示法”. 这一改动旨在明确 “分段”并不是函数的本质属性, 而只是为了表示方便所采取的一个方式. 例如, 函数 $y = \left\{  \begin{array}{ll} x, & x \geq  0, \\   - x, & x < 0 \end{array}\right.$ 是一种分段表示,而它也可以表示成 $y = \left| x\right|$ ,或 $y = \sqrt{{x}^{2}}$ .

例 4 旨在使学生经历用描点法绘制不熟悉的函数的大致图像的过程.

例 5 旨在使学生理解笛卡尔坐标系中的曲线是一个函数的图像所需满足的充要条件(也称为垂线判别法(vertical line test)).

例 6 是对函数的不同表示方法作一次对比. 同时,也引入了取整函数 $y = \left\lbrack  x\right\rbrack$ ,它在实际生产、生活中是常被用到的.

课后阅读“函数概念的形成和发展”介绍了函数概念在历史上的演变过程.

习题 B 组的第 1、2 两题包含了一些初步的分类讨论思想, 这对培养学生思维的完整性和严谨性是有好处的.

与“二期课改”教材不同,本教材未将“函数的运算”作为单独一课时的内容,这一方面是因为课程标准中没有提及该内容, 另一方面是因为 “函数的运算” 是一个自然的操作, 已定义过数的运算, 再定义函数的运算已没有太大的必要. 至于一般函数与线性函数的复合, 通过几个例子简要地说明一下此时函数是如何运算的就可以了. 至于函数的运算 (如和与积) 对函数图像的影响, 这与描点法作图没有太大的差别, 均属于直观感受与符号表述之间的关系这一范畴.

### 注意事项

在函数的教学中建议突出定义域及相应的对应关系, 淡化值域. 这是因为值域相比于定义域和对应关系, 在函数的概念中处于从属地位: 一旦定义域和对应关系确定了, 值域就随之确定 (虽然未必很容易求出). 从初等数学的观点来看, 函数的值域问题本质上是带有参数 $y$ 的方程 $f\left( x\right)  = y$ 何时在定义域中有解的问题; 而从更高的观点来看, 对于连续函数, 求值域的问题还可以依赖于函数的最值及介值性质. 无论从哪种观点来看, 对于大部分函数 (如幂函数、指数函数、对数函数) 的值域, 学生目前只能做到 “结合函数的图像大体上确定”, 而无法严格地求出.

在求函数的值域时, 一定要避免简单地利用不等式来得到值域. 例如, 函数 $y = {2x}, x \in  \left\lbrack  {0,1}\right\rbrack$ 的值域为 $\left\lbrack  {0,2}\right\rbrack$ ,不仅仅是因为 $0 \leq  y \leq  2$ ,还因为 $\left\lbrack  {0,2}\right\rbrack$ 中的每一个值都能作为函数值. 这是教学上的一个难点, 也是众多参考书中没有写清楚的部分. 教师如果要深入讲清值域, 应在这一点上下功夫, 而不是过多地关注求值域的一些技巧.

需要指出的是,函数值域的集合表示为 $\{ y \mid  y = f\left( x\right) , x \in  D\}$ . 一个数 ${y}_{0}$ 在值域中,当且仅当存在 $x \in  D$ ,使得 ${y}_{0} = f\left( x\right)$ ; 而不是当且仅当对任意给定的 $x \in  D$ ,都成立 ${y}_{0} = f\left( x\right)$ . 这在以往的教学中往往是被忽视的. 类似的例子还有: 对于集合 $\{ x \mid  x = {2k\pi }, k \in  \mathbf{Z}\}$ ,元素 ${x}_{0}$ 在集合中是指存在 $k \in  \mathbf{Z}$ ,使得 ${x}_{0} = {2k\pi }$ ；而对于集合 $\{ x \mid  x \neq  {2k\pi }, k \in  \mathbf{Z}\}$ ,元素 ${x}_{0}$ 在集合中是指对任意给定的 $k \in  \mathbf{Z}$ ,都成立 ${x}_{0} \neq  {2k\pi }$ .

与以往教材通过描点法“用光滑的曲线连接标出的点”的定义方式相区别, 本教材给出了函数图像的准确定义: $G = \{ \left( {x, y}\right)  \mid  y = f\left( x\right) , x \in  D\}$ ,为之后研究函数的性质提供了理论上的依托. “用光滑的曲线连接标出的点”在本教材中仅仅是绘制(足够光滑的)函数的大致图像的一个方法, 由于有很多不光滑的函数存在, 因此一概说 “用光滑的曲线连接” 显得过于笼统.

### 教学建议

因为一些特殊的函数 (如幂函数、指数函数、对数函数) 及其基本性质在上一章中已经学习过, 所以在引入函数的概念以及学习函数的基本性质时, 要更多地利用这些已经学过的函数作为素材, 避免“空对空”地进行函数概念的教学. 例如, 在进行了函数概念的教学之后, 可以用多个具体函数的例子向学生解释函数这一概念及其相关概念(如定义域、对应关系、值域等).

在进行了函数概念的教学之后, 可以让学生举出一些生活中函数的实例, 加深学生对函数概念的理解, 并进一步推动学生用数学的眼光观察世界.

本节旨在介绍函数的一般概念, 一共只安排了 2 个课时, 目的是使学生明了关于函数的一些基本概念与术语, 不宜多作展开.

#### 5.2 函数的基本性质

### 教学重点

函数的奇偶性, 函数的单调性, 函数的最值: 理解偶函数与奇函数的概念与图像特征, 会在简单情形下利用定义判断函数的奇偶性. 理解单调函数、单调区间的概念与图像特征, 会在简单情形下利用定义判断函数的单调性. 理解函数最值的概念, 会在简单情形下求函数的最值.

### 内容分析

偶函数的引入来自于函数图像的几何直观——图像关于 $y$ 轴成轴对称. 由于初中关于“轴对称”缺少严格的、可以用来进行代数检验的定义,因此在本教材中用一句话点明了轴对称的实质. 同样地, 在引入奇函数时也给出了 “中心对称”的严格定义.

在给出偶函数的定义之前,教材从代数的角度先揭示了 “函数的图像关于 $y$ 轴成轴对称”时, 该函数应满足的一个充要条件. 这比“图像对称”更容易验证, 从而就可以用符号语言来给出偶函数的定义. 例 1 和例 2 旨在例示如何在简单的情形下证明一个函数是偶(奇)函数.

例 3 旨在通过分析来说明的确存在既是奇函数又是偶函数的函数. 例 3 的分析过程比结论更加重要. 另外, 如果没有 “定义域为 R” 这一条件, 那么任何一个函数值恒为零、定义域关于原点对称的函数都满足本例的要求.

例 4 中, 第(1)小题旨在说明可以通过举例的方式说明一个等式不恒成立, 从而说明一个函数不是奇(偶)函数. 第(2)小题旨在例示如何证明一个用分段表示法表示的函数是奇(偶)函数. 在第(2)小题的证明过程中,根据定义,我们既要验证当 $x > 0$ 时, $g\left( {-x}\right)  =  - g\left( x\right)$ 成立,也要验证当 $x < 0$ 时, $g\left( {-x}\right)  =  - g\left( x\right)$ 成立. 实际上, 当定义域关于原点对称时, 验证了前者, 后者必然自动成立, 但这应在学生对奇偶性有进一步的理解之后再去探讨, 初学奇偶性的时候仍应当按照定义依次说明理由.

例 5 是一个带有参数的问题. 教材“先处理必要性”, 通过代入定义域中的数去寻找参数必须满足的条件, 进而在得到参数的有限个可能值之后, 再去验证充分性. 这一过程对于学生更好地认识到 “函数不仅仅是表达式, 也是数集到数集的对应关系” 是有益的.

例 6 旨在呈现奇偶性在函数性质研究中的作用. 两个问题层层递进: 第( 1 )小题是求具体的函数值, 第( 2 )小题是求函数的表达式. 第( 2 )小题的解答的第一段是在寻求一个必要条件 (如果这样的奇函数存在, 那么其表达式只能是怎样的), 教学时建议将自变量 $x$ 设在 $x < 0$ 处,这样得到表达式更加方便; 第一段之后的部分是验证第一段所求出的函数的确是奇函数. 相应的边框解释了例 4 中未提及的 “当定义域关于原点对称时,验证了 $x > 0$ 时等式成立之后, $x < 0$ 时的相应等式是自动成立的”,实际上是例 4 的一种深化.

单调性定义中的“任意”两字非常重要,它恰如其分地表示了图像上 “ $y$ 随 $x$ 的增大而增大(减小)”的特性.

例 7 给出了在简单情形下证明函数单调性的规范表达. 它可以被视为对初中所学的基于函数图像及图像变换的二次函数的增减性的一个更加准确的再认识.

例 8 是函数单调性的判断及证明. 需要指出的是, 在证明函数的单调性时, 并不一定要使用作差的方法来比较函数值的大小.

在正文中,单调区间并没有“最大”的要求,对此,在边框中给了一个解释.

例 9 旨在说明在研究函数单调性时, 可能会遇到在不同的区间上有不同单调性的函数.

例 10 旨在说明奇偶性在单调性的研究中能发挥重要的作用: 只要知道函数在“一半”的定义域上的单调性, 就能够自然地得到其在“另一半”上的结论. 在讲解例 10 时可以适当地结合函数图像的几何直观, 方便学生理解证明的实质.

练习 5.2(4)的第 1 题显示了函数图像的几何直观对判断函数单调性所带来的帮助.

练习 5.2(4)的第 3 题中的第(2)小题旨在指出单调性相同的区间如有公共元素是可以连接起来的. 此题的求解过程比结论更重要, 因为它能很好地体现 “分类讨论” 这一处理数学问题的重要思想.

例 11 旨在说明如何用配方法解决二次函数的最值问题.

例 12 与例 13 旨在说明如何利用单调性来解决函数的最值问题. 在解决例 13 时, 借助函数的图像 (这里当 $a$ 变化时,函数的图像是一个动态的变化过程) 是十分有利的, 教师在教学时应注意把握合适的时机培养学生直观想象素养. 与之相匹配的练习 5.2(5)的第 3 题,对于初学最值概念的学生而言是有一定难度的,教师应启发学生借助函数的图像来思考.

### 注意事项

教师在教学时应注意指出,“图像关于 $y$ 轴成轴对称”与“对于定义域 $D$ 中任意给定的实数 $x$ ,都有 $- x \in  D$ ,并且 $f\left( {-x}\right)  = f\left( x\right)$ ” 是函数的同一个特性的两种不同的表述方式. 同样地,“图像关于原点成中心对称”与“对于定义域 $D$ 中任意给定的实数 $x$ ,都有 $- x \in  D$ ,并且 $f\left( {-x}\right)  =  - f\left( x\right)$ ” 也是函数的同一个特性的两种不同的表述方式. 在这两组表述中, 前者是一种直观的描述, 而后者是用符号语言对同一特性的描述. 教师在教学时既要尊重和保护学生对于对称这一概念的直观认识, 又要注意从直观中抽象出符号语言的描述, 因为符号语言的描述更容易用数学方法检验. 这也体现了核心素养中“数学抽象”的要求.

处理含参数的函数的奇偶性问题时, 应尽量避免把必要性和充分性混为一谈. 这是因为学生对于含有参数的“恒等于”的理解可能是片面的, 往往只考虑恒等式成立的充分条件,而不去考虑其必要性. 例如,绝大部分学生会天然地认为 “对任意 $x \in  D$ , 都成立 ${ax} = {x}^{n}$ 和 “ $a = 1$ ” 是等价的,却忽视了当 $D = \{ 0\}$ 时,前者仅仅是后者的必要条件, 而不是充分条件. 这是因为绝大部分学生对函数的认识还是停留在“表达式”的层面,将 ${ax} = x$ 中的等号理解为两个多项式的相等. 而这恰恰是在函数的教学中需要认真思考的.

为了和大学数学学习接轨, 教材中区分了 “严格单调” 和 “单调” 这两个概念. 以往高中教材中的“增函数、减函数”就是本教材中的“严格增函数、严格减函数”; 而本教材中的“增函数、减函数”的概念比之前更加宽泛一些, 它允许函数在一些区间上是常数.

在求函数的最值时, 比较常见的处理方式是借助不等式, 或者借助函数的单调性. 需要注意的是: 根据最大 (小) 值的定义,说明某一个数是函数 $y = f\left( x\right) , x \in  D$ 的最大(小)值,除了要说明值域中的每一个数都不大于(小于)该数之外,还要说明这个数确实是一个函数值. 例如,为了说明 3 是函数 $y = {x}^{2} + 3$ 的最小值,除了说明 ${x}^{2} \; + 3 \geq  3$ 恒成立外,还需要说明存在 $x = 0 \in  \mathbf{R}$ ,使得 ${x}^{2} + 3 = 3$ . 这一存在性可以通过求出自变量的具体值来达到, 在某些场合下也可以通过一些其他的方式来实现. 我们可以协助学生分辨“能取到”与“在何时取到”之间的区别,后者是更强的要求. 在求最值时, 除非被要求指出 “在何时取到”, 否则仅需要说明 “能取到”就可以了.

在解决与函数有关的问题时, 本教材提倡采用 “数形结合” 的方法. 然而在实际操作“数形结合”时,图像背后所蕴含的函数的性质必须是充分、且可以用语言描述清楚的, 仅靠图像大致观察得到的结论在数学上很可能是站不住脚的.

### 教学建议

因为有了大量较为具体的函数作为实例, 所以本教材对函数基本性质的概括, 是建立在已经学习过的函数的有关性质的基础上的. 例如, 函数的奇偶性是从二次函数与幂函数中概括的, 函数的单调性是从自由落体运动等实际的变化过程与指数函数、 对数函数中概括的. 在教学时应注意遵循这种“从特殊到一般”的处理方式.

奇函数的定义方式和偶函数的定义方式是完全类似的, 鼓励教师在初步完成偶函数概念的教学之后, 尝试让学生自主地给出奇函数(图像关于原点成中心对称的函数) 用符号语言表示的定义.

学习奇偶性是为了能够利用“对称”这一工具更方便地研究一些函数的性质. 但是在初学的时候,不建议教师将其他的对称性 (如关于直线 $x = 1$ 对称等) 用符号语言的表示直接告知学生, 但这可以作为一个探究问题留给学生自行思考与解决.

在分析较为复杂的函数的性质的时候, 注意到函数是数集到数集的一种对应关系,“尝试一猜想一证明”在研究函数性质的过程中是非常重要的. 在进行尝试的时候, 教师可以向学生有意识地普及使用计算器的一些方法, 如列表等.

在开展单调性定义的教学时, 教师应使学生明确单调性是针对定义域中的某个区间而言的, 是一个相对局部的性质.

在例 7 之后, 教材用了将近一页的篇幅解决了一般二次函数的单调性问题. 这一结论是学生在初中就通过对抛物线的直观认识而熟知的, 这里为这一直观认识提供了一个准确的证明. 教师可以尝试让学生自己完成这一证明过程.

不宜将例 8 的要求上升到对一般复合函数的单调性判断上. 简单复合函数的单调性的分析过程远比所谓“同增异减”的结论重要.

在利用单调性求函数最值的问题中, 如果定义域中带有参数, 建议函数的表达式应尽可能地简单, 避免将判断单调性的难点与分类讨论的难点叠加在一起.

#### 5.3 函数的应用

### 教学重点

实际生活中的函数模型, 用函数观点求解方程与不等式, 二分法求函数的近似零点: 理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的一个重要数学语言和工具; 在实际情境中, 会选择合适的函数类型刻画现实问题中有关量的变化规律. 了解函数的零点与方程的解的关系; 在较简单的情形下, 能借助函数的性质求解方程与不等式, 能借助函数的图像解释求解的过程. 了解连续函数的零点存在定理, 理解用二分法求方程近似解的思想及算法.

### 内容分析

“函数的应用”包含两部分内容: 一是函数这一工具在生产、生活中的应用; 二是函数作为一个数学概念, 在其他数学研究中的应用. 可以看到, 无论是哪种情况, 引入适当的函数都可以使我们对所考察问题的认识更加深入.

例 1 和例 2 是来自平面几何的例子. 例 1 提出了定义域方面的要求. 例 2 由于在不同的情形下对应关系的来源有区别, 最后得到的函数是通过分段表示法来表示的. 解决例 2 中的问题之后, 可以进一步从直观上探寻函数的一些性质 (如单调性), 并利用函数的分段表达式来验证直观上的发现. 这可以进一步形成“利用函数可以定量地解释某些现象”的观念, 培养学生的数学抽象素养.

例 3 旨在通过一个简单的例题给出建模过程的一个范式.

例 4 的建模过程比较困难, 需要用到物理学中的知识. 另外, 在解答过程中如何为所建立的数学模型说清道理, 也是例 4 想要呈现的一个重要方面.

在进行零点这一概念的教学的时候, 建议指出零点本质上不是点, 而是数(当然, 这个数在数轴上可表示为相应的点). 要向学生阐明函数的零点与相应方程的解是同一个事物的两种不同的说法.

例 5 旨在呈现如何利用函数的单调性证明一个方程无解. 该方法也可以用于确定一个方程的解的大致范围.

在例 5 之后, 教材用了一页多的篇幅介绍如何借助二次函数的性质 (通过二次函数的图像来呈现) 求解一元二次不等式. 此前, 在教材的第二章中已经介绍了如何通过因式分解求解一元二次不等式 (在判别式非负的情形下), 并给出了一般情况下的解集; 以及如何通过配方法求解一元二次不等式 (在判别式为负数的情形下). 此处重提一元二次不等式, 一方面是为了使学生学会利用函数性质, 更便捷地进行一元二次不等式的求解; 另一方面也为利用函数求解更一般的不等式作铺垫.

例 6 展示了如何利用函数的单调性求解更为一般的不等式. 在教学时, 求解不等式建议与函数的图像结合起来, 使学生能更好地明白单调性的用处. 对于解答中的 “当且仅当”,教师应引导学生清楚理解“当且仅当”的含义: “根据函数 $y = {x}^{4} + x$ 在区间 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上的单调性,当 $x > 1$ 时,不等式成立; 当 $x \leq  1$ 时,不等式不成立.”其中后一点尤其重要, 却恰恰是容易忽略的.

本节的最后一课时介绍了两个较为重要的事实: 一是连续函数的零点存在定理, 二是求连续函数零点的二分法.

本节呈现了一个建模的过程, 在求解模型时介绍了二分法求近似零点的思想. 这是数学在信息时代中重要作用的一个体现. 虽然二分法的提出已有久远的历史, 但是其“不断重复类似过程, 愈来愈逼近”的思想恰恰体现了信息时代借助计算机解决问题的算法思想.

### 注意事项

函数和许多其他数学分支有着非常密切的联系. 对于高一年级的学生来说, 在解方程和解不等式时原本使用的基本是代数的方法, 即通过因式分解、配方等方法求解. 这些求解的过程并没有把含有未知数 $x$ 的代数式看成是 $x$ 的函数. 如果将方程或不等式两边的代数式看成是未知数 $x$ 的函数,就可以借助函数的性质来求解方程和不等式了.

在利用二次函数求解一元二次不等式的过程中,当判别式 $\Delta  > 0$ 时,所依赖的函数性质可以不是单调性, 而只是函数值的符号, 因此在求解时甚至都不需要作出函数的大致图像,只需要作出符号的示意图,明确 $x$ 在取不同值时 $y$ 的符号即可.

连续函数这一概念依赖于函数的极限, 只能直观上用 “图像是连续不断的曲线” 这一模糊的概念来陈述, 但是这并不是连续函数的精确定义. 教材第 143 页的边框中不加证明地给出了一些常见的连续函数, 而连续函数的四则运算与复合所得的函数在定义域的任一子区间上仍然是连续的.

零点存在定理之所以重要, 一是因为它能指导用二分法求函数的零点, 保证这一算法总是能够使零点的范围被限制到一个足够小的区间内; 二是因为结合零点存在定理求连续函数的值域时, 只需要求得最大值和最小值, 就能说明以两者为端点的区间内的每一个值都能取到,从而求得值域. 例如,函数 $y = {x}^{5} + x + 1, x \in  \left\lbrack  {1,2}\right\rbrack$ 在定义域上是连续的严格增函数, 其最小值为 3 , 最大值为 35 . 如果没有零点存在定理, 我们只能得知该函数的值域是 $\left\lbrack  {3,{35}}\right\rbrack$ 的一个子集,但是借助零点存在定理,我们知道 $\left\lbrack  {3,{35}}\right\rbrack$ 中的每一个值都能作为函数值,从而值域就是 $\left\lbrack  {3,{35}}\right\rbrack$ . 由此可见,零点存在定理对求值域带来了一种新的、也更为便捷的视角.

需要注意的是,零点存在定理中的条件 $f\left( a\right)  \cdot  f\left( b\right)  < 0$ 只是连续函数在 $\left( {a, b}\right)$ 上存在零点的一个充分条件, 但并不是必要的.

直观上来说, 零点存在定理是 “显然” 成立的, 但是严格来说其成立的原因需要追溯到实数的结构, 这不是能向高中学生简单地解释清楚的.

### 教学建议

很多来自生产、生活中的问题, 所建立的数学模型是一个相应的函数模型. 在建立函数模型时, 要合理地选取自变量. 在将实际问题抽象为用数学语言表述的数学问题时, 对学生阅读文字材料的能力要提出一定的要求, 教师不宜越俎代庖.

在用函数观点审视一元二次不等式的求解之后, 应引导学生对所学过的三种解一元二次不等式的方法 (因式分解、配方、利用二次函数) 进行比较和评估.

在进行二分法求函数零点的近似值教学时, 建议充分发挥计算器的作用, 不宜依靠纸笔进行重复的计算. 即使依靠计算器, 也不宜在此处安排过多的例题与习题, 只需极少量的能够说明问题的例题与习题, 让学生能感受到二分法的作用就足够了. 例如, 教材第 144 页的边框中的思考, 鼓励有兴趣和特长的学生进行编程实验, 应该是一个可以面向部分学生开展的数学活动.

#### 5.4 (选学)反函数

### 教学重点

反函数的概念, 反函数的图像: 理解反函数的概念, 会在较简单的情形下求反函数. 知道函数与其反函数的图像之间的对称关系, 并理解形成这种关系的原因.

### 内容分析

例 1 旨在体现函数与其反函数的对应关系,强化对“如果 ${f}^{-1}\left( x\right)  = y$ ,那么 $f\left( y\right)  = x$ ”的理解.

例 2 通过由简单到复杂的三个函数, 给出求反函数的一般过程.

练习 5.4(1)的第 3 题是求一个分段表示的函数的反函数. 根据反函数的概念,这样的函数在求反函数时也应当分段来求.

在证明函数与其反函数的图像关于直线 $y = x$ 对称时,教材借助 “垂直平分线是到线段的两端点距离相等的点的集合” 这一几何性质,证明了点 $\left( {a, b}\right)$ 与点 $\left( {b, a}\right)$ 的垂直平分线是直线 $y = x$ ,因此这两个点关于直线 $y = x$ 对称. 进而,利用这个结论证明了在同一平面直角坐标系中,函数与其反函数的图像关于直线 $y = x$ 对称.

例 3 通过一个特殊的例子, 指出了一些幂函数的反函数也是幂函数, 并提示了其幂指数之间的关系.

例 4 的求解利用了函数与其反函数的图像关于直线 $y = x$ 对称这一事实 (这反映了反函数的对应关系与原来函数的对应关系恰好是进行了自变量与函数值所相应变量之间的交换,这实际上也是两者图像关于直线 $y = x$ 对称的原因所在),不需要求其反函数,通过解方程就能得到 $a$ 和 $b$ 的值.

练习 5.4(2)的第 3 题是为了澄清 $y = {f}^{-1}\left( {x + 1}\right)$ 的确切含义,它是这样一个对应关系: 自变量是 $x$ ,函数值是将 $x + 1$ 代入函数 $y = {f}^{-1}\left( x\right)$ 所得到的结果,而不是函数 $y = f\left( {x + 1}\right)$ 的反函数. 实际上, $y = f\left( {x + 1}\right)$ 的反函数是 $y = {f}^{-1}\left( x\right)  - 1$ .

### 注意事项

反函数是构造新的函数的重要方式, 在很多数学以及实际生活的应用中都涉及反函数. 例如, 对数运算与指数运算互为逆运算, 它们分别对应的对数函数与指数函数就互为反函数. 今后学习解三角形时, 为了表示一些已知其三角函数值、但不是特殊角的角的大小, 也必须使用反函数来表示这些角. 对于呈正态分布的随机变量, 由概率值求随机变量的值的过程中, 也需要用到累积分布函数的反函数.

证明函数与其反函数的图像关于直线 $y = x$ 对称的过程中,利用了“反函数的反函数必是原来的函数本身”这一性质, 从而减少了一半的工作量, 其中体现了化归这一重要的数学思想.

### 教学建议

给出反函数的概念之后, 不可避免地应讨论怎样的函数才有反函数. 事实上, 根据反函数的定义, “不同的自变量的值不能对应到同一个函数值”这一特性是一个函数有反函数的充要条件. 需要注意的是, 教材中提到的 “严格增函数与严格减函数均存在反函数”, 不能反过来理解为 “存在反函数的一定是严格增函数或严格减函数”, 如函数 $y = \left\{  \begin{array}{ll} \frac{1}{x}, & x \neq  0, \\  0, & x = 0 \end{array}\right.$ 是存在反函数的,但它在区间 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ 上既不是严格增函数, 也不是严格减函数.

函数与其反函数的性质之间的联系在 “拓展与思考” 的第 4 题中有所反映, 学有余力的学生可以对此进行一些探讨.

#### 三、参考答案或提示

##### 5.1 函数

练习 ${5.1}\left( 1\right)$

1. (1) $\left( {-\infty , - 3\rbrack \cup \lbrack 2, + \infty }\right)$ . (2) $\{ x \mid  x \geq  1, x \neq  2\}$ .

2. C.

3. (1) $\lbrack 1, + \infty )$ .

(2) $\left\lbrack  {-\frac{1}{3},1}\right\rbrack$ .

练习 5.1(2)

1. (1)

![bo_d402qh3ef24c73d2tivg_114_390_275_357_265_0.jpg](../images/bo_d402qh3ef24c73d2tivg_114_390_275_357_265_0.jpg)

(2)

![bo_d402qh3ef24c73d2tivg_114_927_287_388_234_0.jpg](../images/bo_d402qh3ef24c73d2tivg_114_927_287_388_234_0.jpg)

(3)

![bo_d402qh3ef24c73d2tivg_114_354_645_393_153_0.jpg](../images/bo_d402qh3ef24c73d2tivg_114_354_645_393_153_0.jpg)

(4)

![bo_d402qh3ef24c73d2tivg_114_922_555_321_332_0.jpg](../images/bo_d402qh3ef24c73d2tivg_114_922_555_321_332_0.jpg)

2. $y = \left\{  \begin{array}{ll} {3x} + {10}, &  - 3 \leq  x \leq   - 2, \\  4, &  - 2 < x \leq  2, \\   - {3x} + {10}, & 2 < x \leq  3. \end{array}\right.$

习题 5.1

A 组

1. (1) $\{ x \mid  x \in  \mathbf{R}, x \neq  1, x \neq   - 3\}$ . (2) $\left\lbrack  {-4,1}\right\rbrack$ . (3) $\lbrack 2, + \infty )$ .

(4) $\left( {-2, - 1}\right)  \cup  \left( {-1,5}\right)$ .

2. 6 .

3. (1) $\left\lbrack  {0,1}\right\rbrack   \cup  \{ 2\}$ . (2) $\left\lbrack  {0,2}\right\rbrack$ . (3) $\left\lbrack  {-1,3}\right\rbrack$ .

B 组

1.(1)当 $a > 0$ 时, $D = \{ x \mid  x \in  \mathbf{R}, x \neq   - a, x \neq  a\}$ ；当 $a = 0$ 时, $D = \{ x \mid  x \in  \mathbf{R}$ , $x \neq  0\}$ ; 当 $a < 0$ 时, $D = \mathbf{R}$ .

(2)当 $a > 0$ 时, $D = \left( {-\infty ,0\rbrack \cup \lbrack a, + \infty }\right)$ ; 当 $a = 0$ 时, $D = \mathbf{R}$ ；当 $a < 0$ 时, $D = ( - \infty , a\rbrack  \cup  \lbrack 0, + \infty ).$

2. $f\left( 2\right)  = {20}, f\left( {-4}\right)  =  - {56}, f\left( {-a}\right)  = \left\{  \begin{array}{ll} 2{a}^{2} - {6a}, & a \leq  0, \\   - 2{a}^{2} - {6a}, & a > 0. \end{array}\right.$

##### 5.2 函数的基本性质

### 练习 ${5.2}\left( 1\right)$

1. 都不是, 0 不一定在定义域中.

2. (1)

![bo_d402qh3ef24c73d2tivg_115_297_231_331_229_0.jpg](../images/bo_d402qh3ef24c73d2tivg_115_297_231_331_229_0.jpg)

(2)

![bo_d402qh3ef24c73d2tivg_115_817_226_331_232_0.jpg](../images/bo_d402qh3ef24c73d2tivg_115_817_226_331_232_0.jpg)

3. (1)函数 $y = {2}^{x} - {2}^{-x}$ 的定义域为 $\mathbf{R}$ . 在 $\mathbf{R}$ 中任取一个实数 $x$ ,都有 $- x \in  \mathbf{R}$ . 记 $f\left( x\right)  = {2}^{x} - {2}^{-x}$ ,则有 $f\left( {-x}\right)  = {2}^{-x} - {2}^{x} =  - \left( {{2}^{x} - {2}^{-x}}\right)  =  - f\left( x\right)$ . 因此 $y = {2}^{x} - \; {2}^{-x}$ 是奇函数.

(2)类似(1),证明略.

练习 ${5.2}\left( 2\right)$

1.(1)偶函数,理由略.

(2)奇函数,理由略.

(3)既不是奇函数,又不是偶函数,因为 -3 在定义域中,而 3 不然.

(4)既是奇函数又是偶函数,理由略.

2.(1)不存在,因 1 在值域中,而 -1 不然. (2)存在,取 $a = 0$ 即满足要求.

练习 5.2(3)

1. 不正确. 例如, $y = f\left( x\right)  = \left\{  \begin{array}{ll} x, & 0 \leq  x \leq  1, \\  \frac{1}{2}, & x > 1 \end{array}\right.$ 满足条件,但它在 $\lbrack 0, + \infty )$ 上不是严格增函数.

2. 证明略.

3. $y = {x}^{2} - {10x}$ ,(答案不唯一)理由略.

练习 $\mathbf{{5.2}\left( 4\right) }$

1. (1)单调区间有 $\left\lbrack  {-3, - 2}\right\rbrack  ,\left\lbrack  {-2,1}\right\rbrack  ,\left\lbrack  {1,2}\right\rbrack  ,\left\lbrack  {2,3}\right\rbrack$ . 该函数在区间 $\left\lbrack  {-3, - 2}\right\rbrack$ 和 $\left\lbrack  {1,2}\right\rbrack$ 上是严格减函数,在 $\left\lbrack  {-2,1}\right\rbrack$ 和 $\left\lbrack  {2,3}\right\rbrack$ 上是严格增函数.

( 2 )单调区间有 $\left\lbrack  {-\pi , - \frac{\pi }{2}}\right\rbrack  ,\left\lbrack  {-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}}\right\rbrack  ,\left\lbrack  {\frac{\pi }{2},\pi }\right\rbrack$ . 该函数在区间 $\left\lbrack  {-\pi , - \frac{\pi }{2}}\right\rbrack$ 和 $\left\lbrack  {\frac{\pi }{2},\pi }\right\rbrack$ 上是严格增函数,在区间 $\left\lbrack  {-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}}\right\rbrack$ 上是严格减函数.

2. $y = \left\{  \begin{array}{ll}  - x - 1, &  - 2 \leq  x \leq   - 1, \\  x + 1, &  - 1 \leq  x \leq  2. \end{array}\right.$ 设 ${x}_{1}\text{、}{x}_{2}$ 是区间 $\left\lbrack  {-2, - 1}\right\rbrack$ 上任意给定的两个实数,且 ${x}_{1} < {x}_{2}$ ,有 ${y}_{1} =  - {x}_{1} - 1 >  - {x}_{2} - 1 = {y}_{2}$ . 类似地,设 ${x}_{3}\text{、}{x}_{4}$ 是区间 $\left\lbrack  {-1,2}\right\rbrack$ 上任意给定的两个实数,且 ${x}_{3} < {x}_{4}$ ,有 ${y}_{3} = {x}_{3} + 1 < {x}_{4} + 1 = {y}_{4}$ .

因此函数 $y = \left| {x + 1}\right| , x \in  \left\lbrack  {-2,2}\right\rbrack$ 在区间 $\left\lbrack  {-2, - 1}\right\rbrack$ 上是严格减函数,在区间 $\left\lbrack  {-1,2}\right\rbrack$ 上是严格增函数.

3.(1)设 ${x}_{1}$ 、 ${x}_{2}$ 是区间 $\lbrack 0,3)$ 上任意给定的两个实数,且 ${x}_{1} < {x}_{2}$ ,则 $- {x}_{1}$ 、 $- {x}_{2} \in  ( - 3,0\rbrack$ ,且 $- {x}_{1} >  - {x}_{2}$ . 根据函数 $y = f\left( x\right)$ 在区间 $( - 3,0\rbrack$ 上的单调性,可得 $f\left( {-{x}_{1}}\right)  > f\left( {-{x}_{2}}\right)$ . 又根据 $y = f\left( x\right)$ 的奇偶性,可得 $- f\left( {x}_{1}\right)  = f\left( {-{x}_{1}}\right)  > f\left( {-{x}_{2}}\right)  = \; - f\left( {x}_{2}\right)$ ,因而 $f\left( {x}_{1}\right)  < f\left( {x}_{2}\right)$ .

因此, $y = f\left( x\right)$ 在区间 $\lbrack 0,3)$ 上是严格增函数.

(2) $y = f\left( x\right)$ 在区间 $\left( {-3,3}\right)$ 上也是严格增函数.

提示: 对自变量的值分三类情况进行讨论.

练习 ${5.2}\left( 5\right)$

1. 最大值为 $\frac{1}{2}$ ,最小值为 $\frac{1}{8}$ .

2. (1)最大值为 1,最小值不存在. (2)最大值为 1,最小值为 -3 .

(3)最大值不存在,最小值为 -8 . (4)最大值为 0,最小值为 -6 .

3. 当 $- 2 < a \leq  2$ 时,该函数的最大值为 5 ; 当 $a > 2$ 时,该函数的最大值为 ${a}^{2} + 1$ .

习题 5.2

A 组

1. D.

2. (1)证明略. (2)证明略.

3. (1)证明略. (2)证明略.

4.(1)奇函数,理由略.

(2)偶函数,理由略.

(3)既不是奇函数,又不是偶函数,理由略.

(4)既不是奇函数,又不是偶函数,因为定义域中含有 1 ,而不含有 -1 .

(5) 奇函数, 理由略.

5. 设 ${x}_{1}\text{、}{x}_{2}$ 是区间 $\left( {-\infty ,0}\right)$ 上任意给定的两个实数,且 ${x}_{1} < {x}_{2}$ ,则 $- {x}_{1} > \; - {x}_{2} > 0$ ,因而 $\frac{1}{-{x}_{1}} < \frac{1}{-{x}_{2}}$ ,即 $- \frac{1}{{x}_{1}} <  - \frac{1}{{x}_{2}}$ . 由不等式的性质,可知 ${x}_{1} - \frac{1}{{x}_{1}} < \; {x}_{2} - \frac{1}{{x}_{2}}$ ,因此 $y = x - \frac{1}{x}, x \in  \left( {-\infty ,0}\right)$ 是严格增函数.

6. 设 ${x}_{1}\text{、}{x}_{2}$ 是定义域 $\left( {-\infty ,1}\right)$ 上任意给定的两个实数,且 ${x}_{1} < {x}_{2}$ . 则 $1 - {x}_{1} > \; 1 - {x}_{2} > 0$ . 由对数函数的性质,可知 $\lg \left( {1 - {x}_{1}}\right)  > \lg \left( {1 - {x}_{2}}\right)$ . 因此函数 $y = \lg \left( {1 - x}\right)$ 是严格减函数.

7.(1)最小值为 -6,当且仅当 $x = 2$ 时取到,不存在最小值.

(2)最大值为 3,当且仅当 $x = 1$ 时取到,不存在最小值.

(3) 最大值为 1,当且仅当 $x =  - 2$ 时取到; 最小值为 -8,当且仅当 $x = 1$ 时取到.

(4)最大值为 5,当且仅当 $x =  - 2$ 时取到；最小值为 -3,当且仅当 $x = 0$ 时取到.

8. 最大值与最小值分别是-2 与 -3 .

9. 最大值是 8 .

B 组

1. $a = 0, b =  - 2$ .

2.(1)奇函数,理由略. (2)偶函数,理由略.

3. $\left| {x + 1}\right|$ . (答案不唯一)

4. 大致图像如下:

![bo_d402qh3ef24c73d2tivg_117_568_1428_338_258_0.jpg](../images/bo_d402qh3ef24c73d2tivg_117_568_1428_338_258_0.jpg)

其定义域为 $\mathbf{R}$ ; 它是一个偶函数; 在区间 $( - \infty , - 1\rbrack$ 以及 $\left\lbrack  {0,1}\right\rbrack$ 上是严格减函数, 在区间 $\left\lbrack  {-1,0}\right\rbrack$ 以及 $\lbrack 1, + \infty )$ 上是严格增函数; 最小值为 -1 .

5. 该函数的定义域为 $\mathbf{R}$ .

记 $f\left( x\right)  = \frac{1}{1 + {x}^{2}}$ ,对定义域 $\mathbf{R}$ 中的任意给定的实数 $x$ ,都有 $- x \in  \mathbf{R}$ ,并且 $f\left( {-x}\right)  = \frac{1}{1 + {\left( -x\right) }^{2}} = \frac{1}{1 + {x}^{2}} = f\left( x\right)$ ,因此该函数是偶函数.

设 ${x}_{1}\text{、}{x}_{2}$ 是区间 $\lbrack 0, + \infty )$ 上任意给定的两个实数,且 ${x}_{1} < {x}_{2}$ ,有 $0 < 1 + {x}_{1}^{2} < \; 1 + {x}_{2}^{2}$ ,故 $\frac{1}{1 + {x}_{1}^{2}} > \frac{1}{1 + {x}_{2}^{2}}$ ,即 $f\left( {x}_{1}\right)  > f\left( {x}_{2}\right)$ . 因此该函数在区间 $\lbrack 0, + \infty )$ 上是严格减函数. 设 ${x}_{1}\text{、}{x}_{2}$ 是区间 $( - \infty ,0\rbrack$ 上任意取定的两个实数,且 ${x}_{1} < {x}_{2}$ ,有 $1 + {x}_{1}^{2} > \; 1 + {x}_{2}^{2} > 0$ ,故 $\frac{1}{1 + {x}_{1}^{2}} < \frac{1}{1 + {x}_{2}^{2}}$ ,即 $f\left( {x}_{1}\right)  < f\left( {x}_{2}\right)$ . 因此该函数在区间 $( - \infty ,0\rbrack$ 上是严格增函数.

根据单调性, 可知该函数的最大值为 1 .

6. $\lbrack 2, + \infty )$ .

7. 当 $t < 2$ 时,该函数的最小值为 0 ; 当 $2 \leq  t < 4$ 时,该函数的最小值为 ${2}^{t + 1} - 8$ .

#### 5.3 函数的应用

练习 ${5.3}\left( 1\right)$

1. $y = 6 - \frac{1}{2}x, x \in  \left( {0,6}\right)$ .

2. $S = \left\{  \begin{array}{ll} \frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}, & 0 < t \leq  1, \\   - \frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2} + 2\sqrt{3}t - \sqrt{3}, & 1 < t < 2. \end{array}\right.$

3. $y = \left\{  \begin{array}{ll} x, & 0 \leq  x \leq  {500}, \\  {0.9x}, & {500} < x \leq  {1000}, \\  {0.7x} + {200}, & x > {1000}. \end{array}\right.$

练习 5.3(2)

1. 类似教材第 ${140} \sim  {141}$ 页内容,当 $\Delta  = {b}^{2} - {4ac} > 0$ 时,解集为 $\left( {-\infty ,{x}_{1}}\right\rbrack   \cup \; \left\lbrack  {{x}_{2}, + \infty }\right)$ (其中 ${x}_{1}$ 及 ${x}_{2}\left( {{x}_{1} < {x}_{2}}\right)$ 是对应的一元二次方程的两根); 当 $\Delta  = {b}^{2} - {4ac} \leq$ 0 时,解集为 $\mathbf{R}$ .

2. $\left( {1, + \infty }\right)$ .

练习 ${5.3}\left( 3\right)$

1. 可能有零点. 例如, $f\left( x\right)  = {x}^{2} - 1$ ,当 $a =  - 2, b = 2$ 时, $f\left( a\right) f\left( b\right)  > 0$ ,但是在区间 $\left( {-2,2}\right)$ 上 $y = f\left( x\right)$ 有两个零点.

2. 1.6.

习题 5.3

A 组

1. 定义域为 $\{ 1,2,3,4\}$ ,其大致图像如下:

![bo_d402qh3ef24c73d2tivg_119_565_425_341_332_0.jpg](../images/bo_d402qh3ef24c73d2tivg_119_565_425_341_332_0.jpg)

2. $y = \left\{  \begin{array}{ll} {0.2}, & 0 < t \leq  3, \\  {0.1k}, & k < t \leq  k + 1, k \geq  3, k \in  \mathbf{Z}. \end{array}\right.$

3.4.

4.0.5.

B 组

1. (1) $P = \frac{2}{3}{v}^{2},0 < v \leq  {48}$ .

(2) $y = \left( {P + {864}}\right)  \cdot  \frac{100}{v} = \frac{200}{3}v + \frac{86400}{v},0 < v \leq  {48}$ .

(3)当船速为 36 海里/时的时候,船从甲地到乙地所需的总费用最少.

2.(1)大致图像如下:

![bo_d402qh3ef24c73d2tivg_119_545_1423_372_373_0.jpg](../images/bo_d402qh3ef24c73d2tivg_119_545_1423_372_373_0.jpg)

(2)不能超过 ${22}\mathrm{\;{km}}$ .

3. $y =  - {200x} + {10600}, x \in  \{ 4,5,6,7,8,9,{10}\}$ .

4. 提示: 证明该函数是增函数,进而利用 $x = 7$ 及 $x = 8$ 处的函数值证明结论.

5. 当 $x < 0$ 时, $\frac{2}{{x}^{2}} > 0$ ,而 ${3x} - 1 <  - 1 < 0$ ,因此 $\left( {-\infty ,0}\right)$ 中的一切实数都是该不等式的解. $x = 0$ 不是该不等式的解.

当 $x > 0$ 时, $y = \frac{2}{{x}^{2}}$ 在区间 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上是严格减函数,而 $y = {3x} - 1$ 在区间 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上是严格增函数,且当 $x = 1$ 时, $y = \frac{2}{{x}^{2}}$ 与 $y = {3x} - 1$ 的函数值相等: $\frac{2}{{1}^{2}} = \; 3 \times  1 - 1$ . 因此,当 $0 < x < 1$ 时, $\frac{2}{{x}^{2}} > 2 > {3x} - 1$ ,而当 $x > 1$ 时, $\frac{2}{{x}^{2}} < 2 < {3x} - 1$ .

综上所述,该不等式的解集为 $\left( {-\infty ,0}\right)  \cup  (0,1\rbrack$ .

#### *5.4 反函数

练习 ${5.4}\left( 1\right)$

1. $\lbrack 0, + \infty )$ .

2. (1) $y = \frac{x - 2}{3}$ . (2) $y =  - \frac{3}{x}$ . (3) $y =  - \sqrt{x}$ . (4) $y = {\left( x - 1\right) }^{2}, x \geq  1$ .

3. 存在反函数 $y = \left\{  \begin{array}{ll} x, &  - 1 \leq  x \leq  0, \\  1 - x, & 0 < x < 1. \end{array}\right.$

练习 ${5.4}\left( 2\right)$

1. 不存在反函数,因为 $x = 1$ 和 $x =  - 1$ 时函数值相等.

2. C.

3. 可以不互为反函数,如 $f\left( x\right)  = {2x}$ 时.

习题 5.4

A 组

1. $f\left( 1\right)  = f\left( 3\right)  =  - 8$ ,因此该函数不存在反函数.

2. (1) $y =  - \sqrt[3]{x}$ . (2) $y = \frac{2x}{1 - x}$ . (3) $y =  - \sqrt{x - 1}, x > 1$ .

3. (1) $y = \lg \left( {x - 1}\right)$ . (2) $y = {2}^{x} - 1$ . (3) $y = {2}^{x - 1}$ .

4. 16.

5. 1.

### 复习题

A 组

1. $\left( {-\infty , - 1\rbrack \cup \lbrack 1,2)\cup (2, + \infty }\right)$ .

2. (1)偶函数,理由略.

(2)奇函数,理由略.

(3)当 $k =  - 2$ 时,是偶函数,理由略；当 $k \neq   - 2$ 时,既不是奇函数又不是偶函数, 因为定义域不关于原点对称.

3. $m = 1, n = 2$ .

4. 在区间 $\left( {-\infty , - 2\rbrack \text{和区间}\lbrack 2, + \infty }\right)$ 上是严格增函数,而在区间 $\lbrack  - 2,0)$ 和区间 $(0,2\rbrack$ 上是严格减函数.

5.(1)大致图像如下:

![bo_d402qh3ef24c73d2tivg_121_600_725_296_267_0.jpg](../images/bo_d402qh3ef24c73d2tivg_121_600_725_296_267_0.jpg)

在区间 $( - \infty ,0\rbrack$ 和区间 $\left\lbrack  {2,4}\right\rbrack$ 上是严格减函数,在区间 $\left\lbrack  {0,2}\right\rbrack$ 和区间 $\lbrack 4, + \infty )$ 上是严格增函数.

(2)大致图像如下:

![bo_d402qh3ef24c73d2tivg_121_578_1281_338_329_0.jpg](../images/bo_d402qh3ef24c73d2tivg_121_578_1281_338_329_0.jpg)

在区间 $( - \infty ,0\rbrack$ 上是严格减函数,在区间 $\lbrack 0, + \infty )$ 上是严格增函数.

6. $f\left( {-1}\right)  > f\left( 2\right)$ .

7. $k =  - 4$ 时, ${\left( \alpha  + 1\right) }^{2} + {\left( \beta  + 1\right) }^{2}$ 取到最小值.

8. $y = \left\{  \begin{array}{ll} {0.8}\left( {k + 1}\right) , & {20k} < x \leq  {20}\left( {k + 1}\right) , k \in  \{ 0,1,2,3,4\} , \\  4 + {2m}, & {100m} < x \leq  {100}\left( {m + 1}\right) , m \in  \{ 1,2,3,\cdots ,{19}\} . \end{array}\right.$

${50}\mathrm{\;g}$ 重的邮件收 2.4 元邮费, ${500}\mathrm{\;g}$ 重的邮件收 12 元邮费.

9. $\lbrack 1,{19})$ .

### B 组

1. 奇函数, 从定义域和函数值两个角度进行说理.

2. $( - \infty , - {13}\rbrack$ .

3. -1 或 2.

4. -4.

5. $\left( {0,1}\right)$ .

6. 1 .

### 拓展与思考

1. 在区间 $\left( {-\infty , - 1}\right) ,\left( {-1,1}\right) ,\left( {1, + \infty }\right)$ 上分别是严格增函数.

2. 大致图像如下:

![bo_d402qh3ef24c73d2tivg_122_695_897_275_314_0.jpg](../images/bo_d402qh3ef24c73d2tivg_122_695_897_275_314_0.jpg)

猜测该函数在区间 $( - \infty , - 1\rbrack$ 和区间 $\left\lbrack  {0,1}\right\rbrack$ 上是严格减函数,而在区间 $\left\lbrack  {-1,0}\right\rbrack$ 和 $\lbrack 1, + \infty )$ 上为严格增函数.

对任意给定的两个实数 ${x}_{1}\text{、}{x}_{2}$ ,都有 ${y}_{1} - {y}_{2} = {\left( {x}_{1}^{2} - 1\right) }^{2} - {\left( {x}_{2}^{2} - 1\right) }^{2} = \left( {{x}_{1}^{2} - {x}_{2}^{2}}\right) \; \left( {{x}_{1}^{2} + {x}_{2}^{2} - 2}\right)  = \left( {{x}_{1} - {x}_{2}}\right) \left( {{x}_{1} + {x}_{2}}\right) \left( {{x}_{1}^{2} + {x}_{2}^{2} - 2}\right)$ . 当 ${x}_{1} < {x}_{2} \leq   - 1$ 时, ${x}_{1} - {x}_{2} < 0$ , ${x}_{1} + {x}_{2} < 0,{x}_{1}^{2} + {x}_{2}^{2} - 2 > 0$ ,因此 ${y}_{1} > {y}_{2}$ ,该函数在区间 $( - \infty , - 1\rbrack$ 上为严格减函数.

其余区间上单调性的证明从略.

3. $f\left( x\right)  = {x}^{2} + \left| {x - 1}\right|  + \left| {x + 1}\right|  + 3, g\left( x\right)  = \left| {x - 1}\right|  - \left| {x + 1}\right|$ .

4.(1)在函数 $y = {f}^{-1}\left( x\right)$ 的定义域 $f\left( \mathbf{R}\right)$ 中任取一个数 $x$ ,因 $y = {f}^{-1}\left( x\right)$ 的定义域是 $y = f\left( x\right)$ 的值域,故存在 $y = f\left( x\right)$ 的定义域 $\mathbf{R}$ 中的一个数 $t$ ,使得 $x = f\left( t\right)$ .

因 $y = f\left( x\right)$ 是奇函数,故 $f\left( {-t}\right)  =  - f\left( t\right)  =  - x \in  f\left( \mathbf{R}\right)$ ,从而 $- x$ 也在 $y = \; {f}^{-1}\left( x\right)$ 的定义域中. 由于 ${f}^{-1}\left( x\right)  = t$ ,且 ${f}^{-1}\left( {-x}\right)  =  - t$ ,它们互为相反数,因此 $y = {f}^{-1}\left( x\right)$ 是奇函数.

(2)对于 $f\left( \mathbf{R}\right)$ 中的任意给定的两个实数 ${x}_{1}\text{、}{x}_{2}$ ,设 ${t}_{1} = {f}^{-1}\left( {x}_{1}\right) ,{t}_{2} = \; {f}^{-1}\left( {x}_{2}\right)$ ,即 $f\left( {t}_{1}\right)  = {x}_{1}, f\left( {t}_{2}\right)  = {x}_{2}$ . 如果 $y = f\left( x\right)$ 是严格增函数,那么当 ${x}_{1} < {x}_{2}$ 时, $f\left( {t}_{1}\right)  < f\left( {t}_{2}\right)$ .

如果 ${t}_{1} \geq  {t}_{2}$ ,根据 $f$ 的单调性得 $f\left( {t}_{1}\right)  \geq  f\left( {t}_{2}\right)$ ,与 $f\left( {t}_{1}\right)  < f\left( {t}_{2}\right)$ 矛盾,因此必有 ${t}_{1} < {t}_{2}$ ,即 ${f}^{-1}\left( {x}_{1}\right)  < {f}^{-1}\left( {x}_{2}\right)$ . 这说明 $y = {f}^{-1}\left( x\right)$ 是一个严格增函数.

#### 四、相关阅读材料

### 阅读材料

在 20 世纪之初, 国际上发生了第一次影响比较大的数学教育改革运动, 称为“贝利一克莱因运动”. 其间,英国皇家理科大学的数学家贝利(J. Perry, 1850-1920)发表了“论数学教学”的著名演讲,提出了“数学教育应该面向大众”“数学教育必须重视应用”的思想. 与此同时, 著名数学家克莱因 (F. Klein, 1849-1925) 也在各种场合发表自己对数学教育的看法. 克莱因认为中小学的数学课程应该以函数为纲,并提出了所谓的“米兰大纲”:

教材的选择、排列需适应学生心理的自然发展;

融合数学的各分科, 加强与其他学科的密切联系;

不过分强调形式的训练;

强调实用的方面;

将养成函数思想与空间观察能力作为数学教学的基础.

为了提高中学数学教师的数学素养, 克莱因根据自己在哥廷根大学多年为德国中学数学教师及在校学生开设的讲座, 撰写了一套基础数学普及读物《高观点下的初等数学》. 全书共分 3 卷, 第一卷: 算术、代数、分析; 第二卷: 几何; 第三卷: 精确数学与近似数学. 该书反映了克莱因对数学的许多观点, 向人们生动地展示了一流大师的遗风, 出版后被译成多种文字,是一部数学教育的不朽杰作,影响至今不衰.

### 参考文献

[1] KLEINER I. Evolution of the Function Concept: A Brief Survey[J]. College Mathematics Journal, 1989, 20(4): 282-300.

[2] 菲利克斯·克莱因. 高观点下的初等数学[M]. 舒湘芹, 等译. 上海: 复旦大学出版社, 2008.

### 后 记

本套教学参考资料与李大潜、王建磐主编,上海教育出版社出版的《普通高中教科书·数学》配套使用,本套教材根据中华人民共和国教育部制定并颁布实施的《普通高中数学课程标准 (2017 年版 2020 年修订) 》编制,并经国家教材委员会专家委员会审核通过.

本套教材是由设在复旦大学和华东师范大学的两个上海市数学教育教学研究基地 (上海高校“立德树人”人文社会科学重点研究基地)联合主持编写的. 编写工作依据高中数学课程标准的具体要求,努力符合教育规律和高中学生的认知规律,结合上海城市发展定位和课程改革基础, 并力求充分体现特色. 希望我们的这一努力能经得起实践和时间的检验, 对扎实推进数学的基础教育发挥积极的作用.

本书是与必修第一册教材配套的教学参考资料, 共为五章, 各章编写人员分别为

王伟叶、傅吉祥(第 1 章)

王春明、王志强 (第 2 章)

潘奋、吴泉水、高卫国(第 3 章、第 4 章)

王伟叶、邱维元(第 5 章)

限于编写者的水平, 也由于新编教材尚缺乏教学实践的检验, 不妥及疏漏之处在所难免, 恳请广大师生及读者不吝赐教. 宝贵意见请通过邮箱 gaozhongshuxue@seph.com.cn 反馈, 不胜感激.

2020 年 7 月

图书在版编目 (CIP) 数据

普通高中数学教学参考资料:必修. 第一册 / 上海市中小学 (幼儿园)课程改革委员会组织编写. 一 上海:上海教育出版社, 2020.8 ( 2022.7重印 )

ISBN 978-7-5720-0258-8

I. ①普... II. ①上... III. ①中学数学课 - 高中 - 教学参考资料 IV. ①G634.603

中国版本图书馆CIP数据核字(2020)第137928号